数値計算に用いた数式
Return to Top Page 数値計算の説明 参考文献はこちらです。 Last Updated: 2002-5/31,6/02,6/06,6/17
数式表現における注意事項： ・指数はexp、平方根はsqrt、πはPIや3.141592、角度θはtheta、角速度ωはomega等と表示した。 ・微分の次数は、d2x/dt2 等と表示した。また、変数の微分の簡易表現としてドット表示すべきところ を x' や y' のように代用表現した箇所もある。 ・微分表示を差分表示する場合、xn,yn,xn1,yn1 等の変数を用いて、計算順序を表した。（添え字１が ついている変数は、添え字１のない変数を常に初期値とみなすこととして、積分（順次繰返し）計算する） ・累乗は、x2、x3、y2、y3 等として２乗、３乗を意味するものとした。 ・演算は、誤解のない限り数学上の表現によった。但し、乗算においては、変数と予約語、変数と他の変数 を明確にするため、”*” にて乗算を意味している箇所も多数ある。
カオス #01 logistic2.htm xn1=a*xn*(1-xn); #02 ★ logistic330.htm : Bifurcation a=a+b*j; xn1=a*xn*(1-xn); #03 ★ henon330.htm : Bifurcation a=a+b*j; xn1=1-a*xn*xn+yn; yn1=B*xn; #04 ★◎ azlz.htm xn1=xn+r*(-xn+yn)*dt; yn1=yn+(-xn*zn+m*xn-yn)*dt; zn1=zn+(xn*yn-b*zn)*dt; #05 ◎ azlzaddhyoji.htm #06 ★ sample9995.htm : 初期値鋭敏性 #07 ★◎ azrs.htm xn1=xn-(yn+zn)*dt; yn1=yn+(xn+r*yn)*dt; zn1=zn+(b+xn*zn-m*zn)*dt; #08 ◎ azrsaddnhyoji.htm フラクタル: #09 azjulia03.htm ジュリア集合を描きます（拡大機能つき） r=rs+rr*rd; // 複素変数の実部 i=ie-ii*id; // 複素変数の虚部 zR=r*r-i*i+aR; // f(x)の実部 zI=2*r*i +aI; // f(x)の虚部 #10 azmandel03.htm マンデルブロー集合を描きます（拡大機能つき） u=rr*dR+rs; // 複素定数の実部 v=ie-ii*dI; // 複素定数の虚部 zR=r*r-i*i+u; // 実部の計算 zI=2*r*i +v; // 虚部の計算 その他のカオス的な図形： #11 ◎ aztest.htm x1= x[i]*cosB+z[i]*sinB; // x1の位置 z0=-x[i]*sinB+z[i]*cosB; y1= y[i]*cosA- z0*sinA; // y1の位置 #12 ◎ llorenz.htm xn1=xn+r*(-xn+yn)*dt; yn1=yn+(-xn*zn+m*xn-yn)*dt; zn1=zn+(xn*yn-b*zn)*dt; #13 llorenzvari.htm xn1=a*xn-xn*yn; yn1=b*yn+xn*xn; #14 henon.htm xn1=a*(1-b*xn*xn)+c*(1-d*xn*xn)*xn+yn; yn1=e*xn; #15 gumomira.htm gn=m*xn+(2*(1-m)*xn*xn)/(1+xn*xn); xn1=yn+a*(1-b*yn*yn)*yn+gn; gn1=m*xn1+(2*(1-m)*xn1*xn1)/(1+xn1*xn1); yn1=-xn+gn1; #16 ★ gumomira2.htm gn=m*xn+(2*(1-m)*xn*xn)/(1+xn*xn); xn1=yn+a*(1-b*yn*yn)*yn+gn; gn1=m*xn1+(2*(1-m)*xn1*xn1)/(1+xn1*xn1); yn1=-xn+gn1; #17 ★ azeq02lz.htm Lorenzの本より (Euler method) dx/dt=x-y-x3 dy/dt=x-x2y #18 ★ azeq03lz.htm Lorenzの本より (Runge Kutta method) dx/dt=x-y-x3.................=f1(x,y) dy/dt=x-x2y..................=f2(x,y) 数学：（θ=ωｔ） #20 ★ azlissajours.htm リサージュの図形 x=c*sin(aθ) y=d*sin(bθ) #21 ★ rainbow.htm 虹を作る g.setColor(Color.red); // 色の設定 g.fillArc(150,150,400,400,i,1); // アーチ #22 ★ rainbowclock.htm 虹色の時計を作る g.setColor(Color.red); // 色の設定 g.fillArc(150,150,400,400,i,2); // アーチ #23 ★◎ aztornado.htm トルネード： radius=sqrt(k/i); xn1=radius*cos(θ) yn1=radius*sin(θ) zn1=i/100.0 #24 ★ azspiral.htm アルキメデスのらせん: r=2*θ x=r*cos(θ) y=r*sin(θ) #25 ★ azcardioid.htm カーディオイド: Limason: r=a*cos(θ)+b の特別な形です。 r=a*(1+cos(θ)) x=r*cos(θ) y=r*sin(θ) #26 ★ az3leaf.htm 2〜n枚の葉を描く:Lemniscate レムニスケート r=a*cos(bθ) x=r*cos(θ) y=r*sin(θ) #27 ★ azinvolute.htm インボリュート図形: x=a*(cos(θ)+θ*sin(θ)) y=a*(sin(θ)-θ*cos(θ)) #28 ★ azasteroid.htm アステロイド図形 x=a*cos(θ)*cos(θ)*cos(θ) y=a*sin(θ)*sin(θ)*sin(θ) #29 ★ azcycloid.htm サイクロイド(b=1)、トロコイド(b≠1)図形 : x=a*(θ-b*sin(θ)) y=a*(1-b*cos(θ)) #30 ★ azzukei01.htm 三角関数を利用した図形(2D): rr=r0+sin(cθ) xn1=r*rr*cos(aθ-posi) yn1=r*rr*sin(bθ-posi) #31 ★◎ azkaitenaa.htm 三角関数を利用した図形(3D): rr=r0+sin(cθ) xn1=r*rr*cos(aθ) yn1=r*rr*sin(bθ) #32 azclothoid.htm クロソイド図形：高速道路のカーブ x=∫cos(u*u)du, y=∫sin(u*u)du xn1=xn+(cos(a*a))*b yn1=yn+(sin(a*a))*b 物理学、天文学： #40 ★ artsat00.htm 人工衛星の軌道 d2r/dt2-r(dθ/dt)2=-μ/(r2), 2(dr/dt)(dθ/dt)+rd2θ/dt2=0 #41 ★ tentai00.htm 天体（螺旋状軌道） xn1=rr*r*cos(θ); yn1=r*sin(θ); #42 ★ tentai01.htm 天体（バラ型軌道） r=r+2*sin(50*(sin(10θ))*θ); xn1=rr*r*cos(1.0θ); yn1=r*sin(θ); 力学、流体力学、電磁気学： #50 azforecast.htm 気象：短期予報 #51 azforecastlong.htm 気象：１週間〜１ヶ月予報 xn1=xn+(-(xn*gradxnx+yn*gradxny)+2*omega*Math.sin(phi)*yn -(1/dens)*(gradpresx)+fx)*dt; yn1=yn+(-(xn*gradynx+yn*gradyny)-2*omega*Math.sin(phi)*xn -(1/dens)*(gradpresy)+fy)*dt; #60 ★ azfoucault.htm フーコーの振子: xn1=v*sin(aθ)*cos(bθ); yn1=-v*sin(aθ)*sin(bθ); #61 ★ azkeiatu.htm 傾圧下の物体の運動 du/dt=fv dv/dt=-fu+grav #62 ★◎ azkaiten.htm流体の回転図形（容器内の水面・吸込み時の水面）（３D）ランキン渦 xn1=radius*cos(θ) yn1=radius*sin(θ) #63 ★ azekman.htm 気象、海洋：エクマンスパイラル（２次元） u=a*(1-exp(-bθ))*(cos(bθ)) v=a*(exp(-bθ))*(sin(bθ)) z=θ #64 ★◎ azekmanspiral.htm 気象、海洋：エクマンスパイラル（３次元） u=a(1-exp(-bθ))*cos(bθ) v=a*(exp(-bθ))*sin(bθ) z=θ #65 ★ azstewart.htm スチュアートの渦列：[d2x/dt2+4π2sinx=C] x0=0,x0'=0.1x4π。 x0=4πは区分線。 (1/2)*y*y-A*A*cos(x)=c #66 ★ azcatenary.htm 懸垂線、カテナリー y=(a/2)*(exp(x/a)+exp(-x/a)) #67 ★ azlotkavorterra.htm ロトカ・ボルテラの方程式：生態系 dx/dt=a*x-c*x*y dy/dt=-b*y+c*x*y #68 ★ azvanderpol.htm ファン・デル・ポールの方程式:自励振動の表現 d2y/dt2 -μ(1-y2)(dy/dt)+y=0 dx/dt=y とおき、微分の次数を下げる。 #69 ★ azjattractor.htm ジャパニーズ・アトラクター：ダフィン方程式のｘがない場合。 (d2x/dt2)+k(dx/dt)+x3=Bcos(θ) dx/dt=y とおき、微分の次数を下げる。 #70 ★ azduffing.htm ダフィン方程式 d2x/dt2 +k(dx/dt)+x+x3=Bcos(θ) dx/dt=y とおき、微分の次数を下げる。 #71 azlobe.htm MainLobe & SubLobe :電波の指向性二次元表示 y=sinx/x 分類未整理の方程式 #99 azeq01.htm EQ01 dx/dt=y dy/dt=0.2*y+x-x*x*x #99 azeq04.htm Runge kutta vs Euler位相図 d2y/dt2+siny=0 #99 azeq099.htm 位相図 d2y/dt2+siny=0 #99 azeq08.htm Runge kutta vs Euler dx/dt=x-y-x3 dy/dt=x-x2y #110 az3d0426hide.htm 立体図形の隠線の処理 y=az*(cos(sqrt(x*x+z*z)*rd)+(n)*cos(nn*sqrt(x*x+z*z)*rd)); #99 artsat01.htm 人工衛星の軌道 d2r/dt2-r(dθ/dt)2=-μ/(r2) 2(dr/dt)(dθ/dt)+rd2θ/dt2=0 #99 artsat02.htm 人工衛星の軌道 d2r/dt2-r(dθ/dt)2=-μ/(r2) 2(dr/dt)(dθ/dt)+rd2θ/dt2=0 #99 aztestrungekutta01.htm 人工衛星の軌道 d2r/dt2-r(dθ/dt)2=-μ/(r2), 2(dr/dt)(dθ/dt)+rd2θ/dt2=0 #99 artsat0000.htm 人工衛星の軌道 xn1=xn+un*dt; yn1=yn+vn*dt; keisuu=(2*3.14)*(2*3.14)*(1/(xn*xn+yn*yn))*(1/Math.sqrt(xn*xn+yn*yn)); un1=un-keisuu*xn*dt; vn1=vn-keisuu*yn*dt; #99 aztestrungekutta.htm バネ・ダンパ系 d2x/dt2=-px-qy #99 az2dimdif.htm バネ・ダンパ系 d2y/dt2 +p(dy/dt)+qy=0 #99 az2dimdifforced.htm バネ・ダンパ系（外力あり） d2y/dt2 +p(dy/dt)+qy=Asinωt
Return to Home Page AZure All rights reserved. Hajime Satoh, 2002 Copy Right.