AZWF01 気象の数値予報 気象ノート・シリーズ Ｘ
検討事項（CFL条件、誤差）
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数値予報モデルの説明 操作のヒント 検討事項（CFL条件、誤差） 問題点・改善点
Lorenz Strange Attractor 初期値鋭敏性の検討図 誤差の増大図
Originated: 2002-1/14 Last Updated: 2006-03/04
検討事項：自然現象を数学の数式で表現したとたん、必ずしも自然を正しく反映したことにはなっていません。
特に、現象を微分方程式のモデルとしたところまでは、「ヨシ」としても、数値計算するためには、
「差分」に落としてやらねば成らず、このあと「現象の進行速度」と計算の時間間隔である
「積分時間」の関係を満たすべきCFL条件、さらに、各種の誤差の問題が発生してきます。
１．ＣＦＬ条件に関して
数値計算においては、 ＣＦＬ条件：(風速ｘ時間＜格子間隔) が満足されなければなりません。
ここで、格子間隔=20km と考えますが、この数値予報モデルでは移流を一定値としていますので、
格子間隔は、変数にしていません。ＣＦＬ条件についてほんの少しだけ検討しておきます。
風速u=10m/s、積分時間dt=6分 と仮定したとき、６分で現象の進行する距離は、
u*dt=(10m/s)*(6min)=(10*3600 m/h)*(6/60 hour)=3.6 km
3.6kmとなりますので、格子間隔は3.6kmより大きくとらなければなりません。
風速=30m/sの時の格子間隔は、3.6*3=10.8km以上とらなければならず、ＭＳＭの格子間隔（10km）
では、具合が悪いかもしれません。
２．値の大きさと誤差の問題に関して
数値計算においては、誤差の問題が付きまといます。
・例えば、小数点第５位以下を省略することによる「丸め誤差」
・値の近い２つの数の差を求めるときに、有効桁数が失われることによる「桁落ち」の問題
・微分方程式を差分方程式で近似することによる「打切り誤差」
等が考えられます。
次の差分方程式において、上記の初期値を当てはめて見ますと、
xn1=xn+(-(xn*gradxnx+yn*gradxny)+2*omega*Math.sin(phi)*yn-(1/dens)*(gradpresx)+fx)*dt;
xn1=20.0+(-(20.0*0.00001+10.0*0.00001)+2*0.000073*(35*3.141592/180)*10.0-(1/1.23)*0.001+0.001)*6.0*60
となります。これをみますと、桁数が不ぞろいであることがなんとなく分かります。
上式右辺第２項以降（dtが乗算される項）を0.00001でくくってしまうと。
xn1=20.0+0.00001*[(-(20.0+10.0)+2*7.3*(35*3.141592/180)*10.0-(1/1.23)*100+100)]*6.0*60
となります。
ここで、細かい数値は無視してオーダー単位に（大胆に）表現すると
xn1=20.0+0.00001*[(-30.0+100-100-100)]*360
=20.0-0.5
となり、大体「こんな感じのオーダーの数値の演算」であることがわかります。
一生懸命計算しても、結果としての風速がdrasticに変わるようには見えません。この0.5という
数値は、観測誤差の範疇と考えてもよさそうなくらいです。
仮に、繰返し計算を10回実行すると、場合によってはこの 0.5 が 5.0 に膨れ上がることも
あり得ます。繰返し計算を、何百回、何千回と実行すると誤差が積もり積もって、結果が発散
してしまうことがあります。風速が、ある一定値に収束したり、振動したりするように見えても、
「誤差」という「危険物」を内在したものであると考えられます。
（ちなみに、気象業務法施行規則第１条の３において、風速の観測における最小位数は 1m/s と
定められています。数値予報の「むずかしさ」はこのあたりの事情にもあるのでしょうか。）
なお、0.5 という数値に着目して、観測値（初期値となるであろう）が仮に、20.0 でなく、
20.5 であったとした場合、どのような予想値が得られるか、試して見て下さい。
得られる風速の予想値に、あまりおおきな変化は感じられないようです。しかし、摩擦力を
-0.001から-0.0005 へ変えるだけで結果に顕著な違いが見受けられるでしょう。
予想値の変動に対して最も効果的に寄与するファクターを考えることが大事なようです。
以上のほかに、「情報の埋没」という計算上の問題があります。
即ち、例えば、摩擦力が0.0010で、移流項が0.00001であるとするとき、
移流項の小数点以下第５桁の数値 1 は、摩擦力の有効桁数の範囲外になってしまい、
両者の加算・減算においては、移流項の効果は正しく反映されないことになります。
このような計算上の問題を情報の埋没といいます。
シミュレーションで様々に値を変えることが可能ですが、以上の様なことを頭の中に入れて、
移流、気圧の勾配、摩擦力などを変えてシミュレーションしてください。
現象の変動がリアルになって見えるかも知れません。
参考：
天気図と気象理論 P.56 ：「移流」という概念は数値予報のキーワードです。
天気図と気象理論 P.82 ：気象に関係した数式を一覧表にしています。
この２ページは、拙著「天気図と気象理論」改定新版、に掲載してるものです。
いずれ、「＃３ 数値気象」にも掲載する積もりです。